/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 3293298

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach A = (− 2,2), B = (6,− 2), C = (10,6) .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z rysunku powinno być widać, że AB = BC . Dla pewności sprawdźmy to.

∘ --------------------- √ -------- √ --- AB = (6+ 2)2 + (− 2− 2)2 = 64 + 16 = 8 0 ∘ -------------------- 2 2 √ -------- √ --- BC = ∘ (10−--6)-+--(6+--2)-= 16 + 64 = 8 0 2 2 √ --------- √ ---- AC = (10 + 2) + (6− 2) = 144 + 1 6 = 160.

Obliczyliśmy też długość AC , żeby mieć pewność, że trójkąt nie jest równoboczny – wtedy miałby 3 osie symetrii.

Szukana oś symetrii jest więc symetralną boku AC . Jak zwykle w geometrii analitycznej, możemy ją wyznaczyć na różne sposoby.

Sposób I

Szukana prosta jest prostą przechodzącą przez punkt B oraz przez środek

( − 2+ 10 2 + 6 ) S = --------,------ = (4 ,4) 2 2

odcinka AC . Korzystamy teraz ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA ) − (yB − yA )(x− xA) = 0.

W naszym przypadku mamy (bierzemy A = S,B = B )

(y − yS)(xB − xS )− (yB − yS)(x − xS) = 0 (y − 4)(6 − 4)− (− 2− 4)(x− 4) = 0 / : 2 y − 4+ 3x − 12 = 0 y = − 3x + 1 6.

Sposób II

Szukana prosta jest prostopadła do AC i przechodzi przez B . W takiej sytuacji bardzo wygodny jest wzór na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy → → v = AC = [12,4] i P = B , co daje równanie

1 2(x− 6)+ 4(y+ 2) = 0 / : 4 3 (x− 6)+ (y+ 2) = 0 ⇒ y = −3x + 16.

Sposób III

Możemy również myśleć o szukanej osi symetrii jak zbiorze punktów (x,y) , które są równo odległe od punktów A i C (symetralna odcinka AC ). Daje to nam równość

∘ ------------------- ∘ --------------------- 2 (x + 2)2 + (y − 2 )2 = (x − 10)2 + (y − 6)2 / () 2 2 2 2 x + 4x + 4 + y − 4y + 4 = x − 20x + 100 + y − 12y + 36 24x + 8y − 128 = 0 / : 8 y = −3x + 16

 
Odpowiedź: y = −3x + 16

Wersja PDF