Zadanie nr 6165929

Punkt A = (7,− 1) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Obie współrzędne wierzchołka są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie x2 + y2 = 10 . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Rozpoczniemy od napisania równań stycznych do danego okręgu poprowadzonych z punktu . Każda prosta, która nie jest pionowa i przechodzi przez punkt ma równanie postaci

y = a(x− 7)− 1 = ax − (7a + 1).

Są różne sposoby ustalenia dla jakich wartości prosta tej postaci jest styczna do danego okręgu, można np. wstawić y = a(x− 7)− 1 do równania okręgu i sprawdzić, kiedy otrzymane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (licząc deltę). Inny sposób to skorzystać ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji odległość punktu O = (0,0) od prostej y = ax − (7a + 1) musi być równa √ --- r = 10 . Sprawdzamy kiedy tak jest.

√ --- 10 = |√7a-+-1|- /()2 1 + a2 1 0+ 1 0a2 = (7a + 1)2 = 49a 2 + 1 4a+ 1 0 = 39a2 + 14a − 9 2 Δ = 196 + 140 4 = 1600 = 40 −-14-−-40- 27- 9-- −-14+--40- 13- 1- a = 2 ⋅39 = − 39 = − 13 lub a = 2⋅ 39 = 39 = 3.

Proste i mają więc odpowiednio równania

9 ( 63 ) 9 50 AB : y = ax − (7a + 1) = − ---x − − ---+ 1 = − ---x + --- 1 3 ( 1)3 1 3 13 1 7 1 10 AC : y = ax − (7a + 1) = 3x − 3-+ 1 = 3-x− -3-.

Zauważmy teraz, że łatwo jest napisać równanie osi symetrii trójkąta ABC (czyli jego wysokości/dwusiecznej poprowadzonej z wierzchołka ). Jest to prosta prostopadła do podstawy i przechodząca przez środek O = (0,0) okręgu wpisanego. Jest to więc prosta 13 y = 9 x . Szukamy teraz jej punktu wspólnego z prostą .