/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Zadanie nr 8909321

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Ponadto wiadomo, że A = (− 2,4) i B = (6,− 2) . Wierzchołek C należy do osi Oy . Oblicz współrzędne wierzchołka C .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Sposób I

Szukamy punktu C = (0,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |BC | .

|AC | = |BC | |AC |2 = |BC |2 2 2 2 2 (0+ 2 ) + (y − 4) = (0− 6 ) + (y + 2) 4+ y 2 − 8y + 16 = 36 + y2 + 4y + 4 − 20 = 12y ⇒ y = − 20-= − 5. 12 3

Zatem ( 5) C = 0,− 3 .

Sposób II

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i AB jest jego podstawą, wierzchołek C leży na symetralnej odcinka AB . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [8,− 6] oraz

( ) (x 0,y 0) = S = −-2-+-6, 4−--2- = (2,1). 2 2

Zatem symetralna odcinka AB ma równanie

8(x − 2)− 6(y − 1) = 0 / : 2 4x − 8 − 3y + 3 = 0 4x − 3y − 5 = 0 .

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z prostą x = 0 : podstawiamy w powyższym równaniu x = 0 .

− 3y − 5 = 0 ⇒ y = − 5. 3

Zatem ( ) C = 0,− 53 .  
Odpowiedź: C = (0,− 5) 3

Wersja PDF