Zadanie nr 9392882

Punkty A = (− 1,− 5), B = (3 ,− 1 ), C = (2,4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Oblicz pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Zauważmy, że równoległobok ABCD składa się z dwóch przystających trójkątów ABC i ADC . Wystarczy zatem obliczyć pole trójkąta ABC , a to możemy łatwo zrobić ze wzoru

1- PABC = 2|(xB − xA )(yC − yA )− (yB − yA )(xC − xA )|

na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA ,yA) , B = (xB ,yB) i C = (xC,yC ) . Liczymy

P = 2P = |(3 + 1)(4 + 5) − (− 1+ 5)(2+ 1)| = |36− 12| = 24. ABCD ABC

Sposób II

Obliczmy najpierw długość podstawy

∘ --------------------- √ -------- √ -- AB = (3+ 1)2 + (− 1 + 5)2 = 16+ 16 = 4 2.

Wyznaczmy jeszcze równanie prostej – szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ − 5 = −a + b − 1 = 3a + b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ), mamy 4 = 4a , czyli a = 1 i b = − 5 + a = − 4 . Prosta ma więc równanie y = x− 4 .

Wysokość równoległoboku możemy obliczyć ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji mamy P = C = (2,4) , a prosta to AB : x − y − 4 = 0 . Mamy zatem

|2 − 4− 4| 6 h = --√-------- = √---. 1 + 1 2

Pole równoległoboku jest więc równe

√ -- 6 PABCD = AB ⋅h = 4 2⋅ √---= 2 4. 2

Sposób III

Jeżeli ktoś nie chce korzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, to wysokość równoległoboku możemy wyznaczyć bardziej wprost, wyznaczając równanie wysokości opuszczonej z wierzchołka na bok .

Rozpoczynamy tak jak w poprzednim sposobie od wyliczenia

√ -- |AB | = 4 2 AB : y = x− 4.

Prosta zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka jest prostopadła do , jest to więc prosta postaci y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .