/Szkoła średnia/Nierówności/Z pierwiastkami

Zadanie nr 3869840

Rozwiąż nierówność √ --2--------- √ -2---------- x + 4x + 4 ≥ 11− x − 6x + 9 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków mamy pełen kwadrat, więc nierówność możemy zapisać w postaci

∘ ------------ ∘ ------------ x2 + 4x+ 4 ≥ 11 − x 2 − 6x + 9 ∘ --------- ∘ --------- (x+ 2)2 ≥ 11 − (x − 3 )2 |x + 2| ≥ 11 − |x− 3|.

Otrzymaną nierówność rozwiążemy dwoma sposobami.

Sposób I

Aby opuścić wartości bezwzględne rozważamy trzy przypadki.

Jeżeli x ≥ 3 to mamy nierówność

x+ 2 ≥ 11 − (x − 3) 2x ≥ 12 x ≥ 6.

Zatem w tym przypadku rozwiązaniem jest przedział [6 ,+∞ ) .

Jeżeli x ∈ [−2 ,3) to mamy nierówność

x+ 2 ≥ 11 + (x − 3) 2 ≥ 8.

W tym przypadku nierówność jest więc sprzeczna.

Jeżeli wreszcie x < − 2 to mamy nierówność

− (x+ 2) ≥ 11 + (x − 3) − 10 ≥ 2x − 5 ≥ x.

W tym przypadku rozwiązaniem jest więc przedział (− ∞ ,− 5] .

Łącząc otrzymane rozwiązania otrzymujemy zbiór rozwiązań:

(− ∞ ,− 5]∪ [6,+ ∞ ).

Sposób II

Zapiszmy nierówność w postaci

|x− (− 2)|+ |x − 3| ≥ 11.

Szukamy zatem liczb (na osi), których suma odległości od − 2 i 3 jest co najmniej równa 11. Naszkicujmy tę sytuację.

PIC

Zauważmy teraz, że jeżeli x ∈ [− 2,3] to suma odległości od − 2 i 3 jest stała i równa 5. Jeżeli natomiast x jest poza tym przedziałem to suma ta jest tym większa im x jest dalej od końców przedziału. Ponadto łatwo zauważyć, że dla x = − 5 i dla x = 6 interesująca nas suma jest równa dokładnie 11. Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór

(− ∞ ,− 5]∪ [6,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: (− ∞ ,− 5]∪ [6,+ ∞ )

Wersja PDF