Zadanie nr 8287380

Liczby a1,a2,a3,...,an są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o dodatnich wyrazach, a jest liczbą parzystą. Znając sumy

S = a1 + a2 + a 3 + ⋅⋅⋅ + an 1-- -1- 1-- 1-- T = a + a + a + ⋅⋅⋅+ a , 1 2 3 n

oblicz iloczyn I = a a a ⋅⋅⋅a 1 2 3 n .

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy n− 1 an = a1q to mamy dane

S = a + a + a + ⋅⋅⋅+ a = 1 2 3 n = a1 + a1q + a1q2 + ⋅⋅⋅+ a1qn−1 = a1(1 + q + ⋅⋅⋅ + qn−1) 1 1 1 1 T = ---+ --+ ---+ ⋅⋅⋅+ ---= a1 a2 a3 an 1 1 1 1 qn− 1 + ⋅⋅⋅+ q2 + q + 1 = ---+ ----+ ---2-+ ⋅⋅⋅ + ---n−-1 = ------------n−1-------- a1 a1q a1q a1q a1q S- S S T = ---a1n−1 = -2----- ⇒ a 21qn−1 = --. a1q a1qn−1 T

A teraz zobaczmy co mamy obliczyć

I = a a a ⋅⋅⋅a = a (a q)(a q 2) ⋅⋅⋅(a qn− 1) = anq1+2+ ⋅⋅⋅+ (n−1) = 1 2 3 n 1 1 (1 ) n 1 1 n n(n−1) 2 n−1 n S 2 = a1q 2 = (a 1q )2 = T-

Odpowiedź: ( ) n S- 2 I = T