Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1374422

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x 2 − (m − 4)x + m 2 − 4m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od 2m 3 − 3 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

 2 2 2 2 0 < Δ = (m − 4) − 4(m − 4m ) = m − 8m + 1 6− 4m + 16m 0 < − 3m 2 + 8m + 16 2 3m − 8m − 16 < 0 Δ = 6 4+ 1 92 = 256 = 162 m = 8−--16-= − 4, m = 8-+-16-= 4 1 6 3 2 6 ( 4 ) m ∈ − --,4 . 3

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że suma pierwiastków równania jest równa

x + x = m − 4, 1 2

co daje nierówność

m − 4 < 2m 3 − 3 0 < 2m 3 − m + 1.

Widać, że prawa strona zeruje się dla m = − 1 (sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego), dzielimy więc prawą stronę przez (m + 1) – my zrobimy to grupując wyrazy.

 3 3 2 2 2m − m + 1 = (2m + 2m ) − (2m + 2m )+ (m + 1) = = 2m 2(m + 1)− 2m (m + 1) + (m + 1) = (m + 1)(2m 2 − 2m + 1).

Trójmian w nawiasie jest zawsze dodatni (bo Δ < 0 ), więc rozwiązaniem nierówności

0 < 2m 3 − m + 1

jest przedział (− 1,+ ∞ ) . Uwzględniając warunek z Δ -ą mamy

m ∈ (− 1 ,4 ).

 
Odpowiedź: m ∈ (− 1,4)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!