Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9854876

Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x , które spełniają równość |x − 1|+ |x − 3 | = 2 . Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do A i do B .

Wersja PDF
Rozwiązanie

W rozwiązaniu będziemy korzystać z interpretacji liczby

|a − b|

jako odległości na osi liczb a i b .

Równość |x − 1 |+ |x − 3| = 2 spełniają punkty, których suma odległości od liczb 1 i 3 jest równa 2. Ponieważ przedział ⟨1,3⟩ ma dokładnie długość 2, ten warunek spełniają wszystkie liczby z tego przedziału. Z drugiej strony, żadna liczba spoza tego przedziału nie może spełniać tego warunku, bo jej odległość do jednej z liczb 1 lub 3 musi być większa od 2. zatem A = ⟨1,3⟩ .

Podobnie rozszyfrowujemy zbiór B : przedział ⟨4,6⟩ ma długość 2, więc punkty, których suma odległości od końców tego przedziału jest ≤ 4 muszą być albo w tym przedziale, albo być w odległości niewiększej niż 1 od jednego z jego końców (bo wtedy suma odległości od końców będzie ≤ 2+ 1+ 1 = 4 ). Zatem B = ⟨3,7⟩ .

Zbiory A i B mogliśmy też wyznaczyć czysto rachunkowo. Wystarczy w tym celu rozwiązać równanie i nierówność

|x − 1|+ |x − 3| = 2 |x − 4|+ |x − 6| ≤ 4

przez standardowe rozbijanie na przypadki.

Jeżeli już wiemy czym są zbiory A i B bez trudu wykonujemy obrazek.


PIC


Z obrazka widać, że A ∩ B = {3} .

Wersja PDF