Zadanie nr 2783665

Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A = (− 1,− 5),B = (5,1),C = (1,3),D = (− 2,0) . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona oraz trapezu ABCD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Aby znaleźć punkt wspólny dla prostych i musimy wyznaczyć równania tych prostych.

Najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ − 5 = −a + b 0 = −2a + b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy a = − 5 . Stąd b = 2a = − 10 i prosta ma równanie: y = − 5x − 1 0 .

Szukamy teraz prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ 1 = 5a + b 3 = a+ b.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy 4a = − 2 , czyli 1 a = − 2 . Stąd b = 3− a = 72 i prosta ma równanie: y = − 12x + 72 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny prostych i .

{ y = − 5x − 1 0 1 7 y = − 2 x+ 2.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 7 0 = − -x + 5x + --+ 10 2 2 27- 9- 2- − 2 = 2x / ⋅9 − 3 = x.

Stąd y = − 5x − 1 0 = 5 i O = (− 3,5) .

Do wyznaczenia promienia okręgu będziemy potrzebować równania prostej . Jak zwykle szukamy prostej w postaci y = ax+ b . Podstawimy współrzędne punktów i .

{ − 5 = −a + b 1 = 5a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6a = 6 , czyli a = 1 . Stąd b = − 5+ a = − 4 i prosta ma równanie: y = x − 4 .

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Niech będzie punktem wspólnym szukanego okręgu i prostej . Dość łatwo jest wyznaczyć równanie prostej – jest to prosta prostopadła do , czyli prosta postaci y = −x + b i przechodząca przez . Podstawiając współrzędne punktu mamy