Zadanie nr 4762166

W trójkącie ABC na boku wybrano takie punkty ′ A i ′ B , że

1 |AA ′| = |BB ′| < --|AB |. 2

Przez punkty ′ A i ′ B poprowadzono proste równoległe do boków odpowiednio i . Proste te przecięły się w punkcie . Wykaż, że odcinek jest zawarty w środkowej trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Wystarczy oczywiście udowodnić, że jeżeli jest punktem wspólnym prostych i , to jest środkiem boku . Oznaczmy przez i punkty wspólne prostych opisanych w treści zadania z bokami i . Zauważmy najpierw, że trójkąty ′ AB E i ′ A BD mają równe kąty przy podstawach ′ AB i ′ A B , więc są podobne. Ponadto,

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AB = AA + A B = A B + B B = A B ,

więc trójkąty te są przystające. W szczególności ′ AE = A D i ′ B E = BD , czyli czworokąty AA ′DE i B ′BDE są równoległobokami, a czworokąt ABDE jest trapezem (bo ED ∥ AB ).

Popatrzmy teraz na czworokąt CESD — jest to równoległobok, więc jego przekątne przecinają się w punkcie , który dzieli je na połowy. W takim razie ER = RD .

Sposób I

Zauważmy, że jednokładność o środku i skali CT- CR przekształca trójkąt CED na trójkąt CAB . Przekształca też prostą na siebie, więc J(R) = T . Ustaliliśmy już, że jest środkiem odcinka , więc T = J(R) jest środkiem odcinka AB = J(ED ) .