Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9261993

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba  7 n − n jest podzielna przez 7.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Rozkładamy podane wyrażenie

 7 6 3 3 n − n = n (n − 1) = n(n − 1 )(n + 1) = = n (n− 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n 2 − n + 1) = 2 2 = (n − 1 )n(n + 1)(n + n + 1)(n − n + 1).

Jeżeli liczba n daje przy dzieleniu przez 7 resztę 1, 0 lub 6, to jedna z liczb w pierwszych trzech nawiasach dzieli się przez 7. Pozostało zająć się sytuacją, gdy liczba n przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, 3, 4 lub 5. Zauważmy, że jeżeli n = 7k+ r to

n2 − n + 1 = 49k 2 + 1 4kr+ r2 − 7k − r + 1 = 7 (7k 2 + 2kr − k )+ (r2 − r+ 1) n2 + n + 1 = 49k 2 + 1 4kr+ r2 + 7k + r + 1 = 7 (7k 2 + 2kr + k )+ (r2 + r+ 1).

Łatwo teraz sprawdzić, że jeżeli r = 3 lub r = 5 to pierwsze wyrażenie dzieli się przez 7, a jeżeli r = 2 lub r = 4 to drugie wyrażenie jest podzielne przez 7.

Sposób II

Postępujemy jak poprzednio, ale używamy odrobinę sprytniejszego rozkładu.

n7 − n = n (n6 − 1) = n(n 3 − 1)(n 3 + 1 ) = 2 2 = n (n− 1)(n + n + 1)(n + 1)(n − n + 1 ) = = (n − 1)n (n + 1)(n2 + n + 1)(n 2 − n + 1 ) = = n (n− 1)(n + 1)((n + 3)(n − 2) + 7)((n − 3 )(n+ 2)+ 7).

Zauważmy teraz, że n − 3,n − 2,n − 1,n,n + 1,n + 2,n + 3 to 7 kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich na pewno dzieli przez 7. To oznacza, że wyrażenie w jednym z powyższych nawiasów jest liczbą podzielną przez 7.

Sposób III

Jest jasne, że przez 7 dzieli się liczba

(n− 3)(n − 2)(n − 1)n (n+ 1)(n + 2)(n + 3)

(bo wśród 7 kolejnych liczb całkowitych zawsze jedna dzieli się przez 7). Wymnóżmy ten iloczyn i sprawdźmy, czym różni się on od n 7 − n . Liczymy

(n − 3)(n − 2)(n − 1 )n(n + 1)(n + 2)(n + 3 ) = = (n − 3)(n + 3)(n − 2)(n+ 2)(n − 1)(n + 1)n = (n2 − 9)(n2 − 4)(n 2 − 1)n = 4 2 2 6 4 2 4 2 = (n − 13n + 3 6)(n − 1)n = (n − 1 3n + 36n − n + 13n − 36)n = = (n6 − 14n 4 + 4 9n2 − 36)n = n7 − 14n5 + 49n 3 − 3 6n = n7 − n − (14n 5 − 4 9n3 + 35n).

Zatem

 7 5 3 n − n = (n − 3)(n − 2 )(n− 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3 )+ 7(2n − 7n + 5n)

i widać, że rzeczywiście n7 − n zawsze dzieli się przez 7.

Sposób IV

Zadanie możemy też rozwiązać indukcyjnie, ale będziemy potrzebować wzoru dwumianowego Newtona dla n = 7

(a+ b)7 = ( 7) ( 7) ( 7) (7) ( 7) (7 ) = a7 + a 6b+ a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7 = 1 2 3 4 5 6 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a 4b3 + 3 5a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7.

Zakładamy indukcyjnie, że n7 − n dzieli się przez 7 i liczymy

(n + 1)7 − (n + 1) = 7 6 5 4 3 2 = n + 7n + 21n + 35n + 35n + 21n + 7n + 1− n− 1 = = (n7 − n)+ 7n6 + 21n 5 + 3 5n4 + 35n3 + 21n 2 + 7n.

Wyrażenie w nawiasie dzieli się przez 7 z założenia indukcyjnego, reszta też, więc wykazaliśmy tezę dla n + 1 .

Zadanie jest szczególnym przypadkiem tzw. małego twierdzenia Fermata: jeżeli p jest liczbą pierwszą, to ap − a dzieli się przez p .

Wersja PDF