/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność

Zadanie nr 6340692

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k3m − km 3 jest podzielna przez 6.

Rozwiązanie

Zauważmy, że

3 3 2 2 k m − km = km(k − m ) = km (k − m )(k+ m ).

Widać teraz, że liczba ta jest parzysta, bo albo jedna z liczb k lub m jest parzysta, albo k − m jest parzyste.

Liczba ta dzieli się też przez 3, bo albo jedna z liczb k lub m dzieli się przez 3, albo liczby te dają te same reszty z dzielenia przez 3 i wtedy k− m dzieli się przez 3, albo wreszcie k i m dają różne niezerowe reszty z dzielenia przez 3, czyli dają reszty 1 i 2 (lub odwrotnie) – wtedy k + m dzieli się przez 3.

Wersja PDF