Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9101669

Dane są prosta k o równaniu x− 2y = 0 i prosta l o równaniu 2x + y − 1 = 0 . Punkt P leży na prostej o równaniu y = x + 4 . Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l . Oblicz współrzędne punktu P .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Jeżeli punkt P leży na prostej y = x + 4 , to ma współrzędne postaci P = (x,x + 4) . Zapiszemy teraz informację o odległościach tego punktu od prostych k i l . Skorzystamy przy tym ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax 0 + By 0 + C| ---√---2----2---. A + B

Mamy zatem równanie

 d(P ,k) = 2d(P ,l) |x-−--2(x+--4)| |2x+--(x-+-4)−--1| √ -- √ 1-+-4- = 2 ⋅ √ 4-+-1- / ⋅ 5 |− x − 8| = 2|3x + 3|.

Otrzymane równanie rozwiążemy na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

 | − x − 8| = 2|3x + 3| −x − 8 = 6x + 6 lub − (−x − 8) = 6x+ 6 7x = − 1 4 lub 5x = 2 x = − 2 lub x = 2-. 5

Stąd odpowiednio

y = x + 4 = 2 lub y = x + 4 = 2-+ 4 = 2-2 5 5

i P = (− 2,2) lub  (2 22) P = 5 ,5 .

Sposób II

Podnosimy otrzymane równanie stronami do kwadratu – w ten sposób pozbędziemy się wartości bezwzględnych.

 2 |− x − 8| = 2|3x + 3| / () (x+ 8)2 = 4(3x + 3)2 2 2 x + 16x + 64 = 3 6x + 72x + 36 0 = 35x2 + 56x − 28 / : 7 0 = 5x2 + 8x − 4.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe

 2 Δ = 64 + 80 = 144 = 12 −-8−--12- −-8-+-12- 4-- 2- x = 10 = − 2 lub x = 10 = 10 = 5.

Stąd odpowiednio

y = x + 4 = 2 lub y = x + 4 = 2-+ 4 = 2-2 5 5

i P = (− 2,2) lub  ( ) P = 25 , 252 .  
Odpowiedź: P = (− 2,2) lub  ( ) P = 2, 22 5 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!