Zadanie nr 7598926

Wyznacz dziedzinę funkcji ( 2 )3 f(x ) = lo g3−x x-−xx−−2-2 2+x

Rozwiązanie

Patrzymy najpierw na podstawę logarytmu – musi być dodatnia i nie może być równa 1. Na początek sprawdźmy, kiedy jest równa 1

3-−-x-= 1 2 + x 3-−-x-−-2-−-x- 2 + x = 0 1 1 − 2x = 0 ⇐ ⇒ x = -. 2

Zatem 1 x ⁄= 2 . Teraz sprawdzamy, kiedy podstawa jest dodatnia.

3− x ------> 0 2+ x (3 − x )(2+ x) > 0 / ⋅(− 1) (x − 3)(x+ 2) < 0 x ∈ (− 2,3).

Wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie i oczywiście mianownik nie może być zerem (czyli x ⁄= 2 ). Rozłóżmy licznik na czynniki.

x2 − x − 2 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 1−-3-- 1+--3- x = 2 = − 1 ∨ x = 2 = 2.

Zatem

x-2 −-x-−-2 (x-+-1)(x-−-2-) x − 2 = x − 2 = x + 1.

Wyrażenie to jest dodatnie jeżeli x > −1 .

Zbierając teraz wszystkie ograniczenia razem otrzymujemy dziedzinę:

( ) ( ) 1- 1- − 1,2 ∪ 2,2 ∪ (2,3).

Odpowiedź: ( 1) ( 1 ) Df = − 1,2 ∪ 2,2 ∪ (2,3)