Zadanie nr 6499183
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny
, w którym
,
. Spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy, a każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka
ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.
Niech będą wysokościami ścian bocznych, a
niech będzie wysokością ostrosłupa. Zauważmy, że płaszczyzna
zawiera dwa odcinki (
i
) prostopadłe do prostej
, więc jest prostopadła do tej prostej. W szczególności odcinek
jest prostopadły do
. Analogicznie uzasadniamy, że odcinki
i
są prostopadłe odpowiednio do
i
.
Zauważmy ponadto, że trójkąty i
są przystające (bo są prostokątne i mają dwa boki tej samej długości). To oznacza, że
, czyli
jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
oraz
, gdzie
promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.
Aby obliczyć potrzebujemy obliczyć pole trójkąta
. Liczymy.

Obliczamy promień okręgu wpisanego.

Teraz możemy obliczyć długość wysokości ostrosłupa.

Liczymy objętość ostrosłupa.

Odpowiedź: 4320