Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6499183

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = 30 , |BC | = |AC | = 3 9 . Spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy, a każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.


PIC


Niech SD ,SE ,SF będą wysokościami ścian bocznych, a SG niech będzie wysokością ostrosłupa. Zauważmy, że płaszczyzna SGD zawiera dwa odcinki (SD i SG ) prostopadłe do prostej AB , więc jest prostopadła do tej prostej. W szczególności odcinek DG jest prostopadły do AB . Analogicznie uzasadniamy, że odcinki GE i GF są prostopadłe odpowiednio do BC i AC .

Zauważmy ponadto, że trójkąty SGD ,SGE i SGF są przystające (bo są prostokątne i mają dwa boki tej samej długości). To oznacza, że GD = GE = GF , czyli G jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz GD = GE = GF = r , gdzie r promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.

Aby obliczyć r potrzebujemy obliczyć pole trójkąta ABC . Liczymy.

 ∘ ---------- √ ----- CD = 392 − 15 2 = 1296 = 3 6 PABC = 1⋅ 30⋅ 36 = 540. 2

Obliczamy promień okręgu wpisanego.

 1 540 = PABC = -r(AB + BC + CA ) = 54r ⇒ r = 10 . 2

Teraz możemy obliczyć długość wysokości SG ostrosłupa.

 ∘ ---2------2- √ ---------- √ ---- SG = SD − GD = 676− 100 = 5 76 = 24.

Liczymy objętość ostrosłupa.

V = 1-⋅P ⋅SG = 1-⋅54 0⋅24 = 4320. 3 ABC 3

 
Odpowiedź: 4320

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!