Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6826981

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS o podstawie ABC wysokość jest równa 3, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 12 0∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Musimy najpierw ustalić jak zaznaczyć kąt między ścianami bocznymi.


PIC


Kąt ten to kąt płaski jaki otrzymujemy przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości BE i CE w trójkątach ścian bocznych, to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), to spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie, oznaczmy go przez E . Otrzymana płaszczyzna BEC jest prostopadła do krawędzi AS , zatem kąt BEC jest kątem między ścianami bocznymi.

Oznaczmy AB = a . Z trójkąta prostokątnego BF E mamy

 BF- ∘ √ -- EF = tg6 0 = 3 a EF = B√F--= √2--= --a√--. 3 3 2 3

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny AEF

 ┌ (-----)--------------- ∘ ----------- ││ √ -- 2 ( ) 2 AE = AF 2 − EF 2 = ∘ a--3- − -a√--- = 2 2 3 ∘ -------- ∘ --- ∘ -- √ -- 3- 1-- -8- 2- a---6 = a 4 − 12 = a 12 = a 3 = 3 .

Teraz patrzymy na trójkąty podobne AKS i AEF (oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A ).

AK AE ---- = ---- KS √ - EF √- 23 ⋅ a23 a36- ------- = -a√-- 3 2 3 a √ 3- a√ 6- 2√ 3- √ -- 9 ----- = -----⋅ -----= 2 2 / ⋅√--- 9 -3 a 3 18√ 2 a = -√---- 3

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

 ( √-) 2 √ -- 2√ -- 18√-2- ⋅ 3 324⋅2 ⋅√ 3- √ -- V = 1-⋅ a---3-⋅3 = ----3---------= --3-------= 54 3. 3 4 4 4

 
Odpowiedź:  √ -- 54 3

Wersja PDF