Wielomian W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9 jest kwadratem wielomianu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 1901036

Forum

Stopnia 4

Zadanie nr 1901036

Wielomian $4 3 2 W (x) = x + ax + bx − 24x + 9$ jest kwadratem wielomianu $P (x) = x2 + cx + d$ . Oblicz $a$ oraz $b$ .

Rozwiązanie

Podnieśmy wielomian $P$ do kwadratu.

2 2 2 4 2 2 2 3 2 [P(x)] = (x + cx + d) = x + cx + d + 2cx + 2dx + 2cdx.

Mamy zatem równanie

x4 + ax3 + bx2 − 24x + 9 = x4 + 2cx3 + (c2 + 2d)x2 + 2cdx + d 2.

Jeżeli wielomiany są równe to muszą mieć równe współczynniki przy odpowiednich potęgach $x$ -a, co prowadzi do układu równań

( || a = 2c |{ b = c2 + 2d ||| − 24 = 2cd ( 9 = d2.

Ostatnie równanie oznacza, że $d = − 3$ lub $d = 3$ . Trzecie równanie układu przyjmuje wtedy odpowiednio postać

− 24 = − 6c ∨ − 24 = 6c 4 = c ∨ − 4 = c.

Z pierwszego równania układu mamy wtedy odpowiednio

a = 8 ∨ a = −8 .

Z drugiego równania mamy

b = 10 ∨ b = 22.

Otrzymaliśmy więc dwa rozwiązania $(a,b ) = (8,10)$ lub $(a,b) = (− 8,22)$ .
Odpowiedź: $(a,b) = (8,10)$ lub $(a,b) = (−8 ,22)$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!