/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 3724963

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długość √ -- 4 2 . Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ostrosłupa.

PIC

Zauważmy, że trójkąt ACS jest trójkątem równoramiennym z kątem między ramionami równym 60 ∘ , więc jest trójkąt równoboczny. W takim razie, ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, możemy obliczyć wysokość ostrosłupa.

-- 4√ 2 ⋅√ 3- √ -- H = ----------= 2 6. 2

W podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku a i przekątnej długości √ -- 4 2 , więc

√ -- √ -- a 2 = 4 2 ⇒ a = 4.

Liczymy objętość ostrosłupa.

√ -- √ -- V = 1-PABCD ⋅H = 1-a2 ⋅H = 1-⋅16⋅ 2 6 = 3-2--6. 3 3 3 3

 
Odpowiedź: √ - V = 323-6

Wersja PDF