Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3321451

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | = 6 , a punkt D jest środkiem podstawy AB . Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M . Punkt K leży na boku AC , punkt L leży na boku BC , odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz |KC | = |LC | = 2 (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że |AM | |MC-|-= 45 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Prosta CD jest osią symetrii danego rysunku, więc przecina odcinek KL w jego środku – oznaczmy ten punkt przez E .


PIC


Jeżeli oznaczymy KL = 2a , to KE = EL = a oraz

KM = KE = a

(odcinki stycznych do okręgów). Wiemy ponadto, że AC = 6 , więc

AM = 6 − KM − KC = 6 − a − 2 = 4 − a.

Wiemy też, że trójkąty CKL i CAB są podobne w skali KC 2 1 AC- = 6 = 3 . Zatem AB = 3KL = 6a .

W tym miejscu kończą się łatwe obserwacje – jeżeli mamy pójść dalej musimy jakoś wykorzystać fakt, że środkiem narysowanego okręgu jest środek D boku AB – na razie tej informacji nie wykorzystaliśmy. W tym celu dorysowujemy promień DM , który jest oczywiście prostopadły do stycznej w punkcie M , czyli do prostej AC . Jeżeli to zrobimy i chwilę popatrzymy na otrzymaną konfigurację, to można zauważyć, że otrzymaliśmy dwa podobne trójkąty prostokątne – CEK i DMA . To podobieństwo pozwala obliczyć a .

KE AM ---- = cos α = ----- KC AD a-= 4-−-a- 2 3a 3a2 = 8 − 2a 3a2 + 2a− 8 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 4 + 9 6 = 100 − 2− 10 − 2+ 10 8 4 a = ---------< 0 lub a = ---------= --= --. 6 6 6 3

To oznacza, że

 4 − 4 8 AM---= 4-−-a-= ----3-= -3-= 8--= 4. MC a + 2 43 + 2 103 10 5
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!