/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Sześcian

Zadanie nr 2962964

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi DH (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta CF S .


PIC


Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od obliczenia długości boków trójkąta SFC .

 √ -- √ -- CF = B∘C --2-=--2--2- ------ √ -- SC = DC 2 + SD 2 = √ 4 + 1 = 5 ∘ ------------ ∘ ------------ SF = SH 2 + HF 2 = 1 + (2 √ 2)2 = √ 9-= 3.

W każdym trójkącie najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku.


PIC


W takim razie interesuje nas kąt α = ∡SF C . Jego cosinus możemy obliczyć z twierdzenia cosinusów.

 SC 2 = SF 2 + CF 2 − 2SF ⋅CF cosα √ -- 5 = 9 + 8 − 2 ⋅√3-⋅2 2 cosα 12 2 co sα = --√---= ---. 12 2 2

Zatem  ∘ α = 4 5 .  
Odpowiedź: 45∘

Wersja PDF
spinner