/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Ekstrema

Zadanie nr 2870517

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji 3 f (x) = x − 3x + 20 w przedziale ⟨− 3;3⟩ .

Rozwiązanie

Aby zobaczyć jak zmienia się funkcja (gdzie rośnie, maleje itd.), liczymy pochodną

f′(x ) = 3x2 − 3 = 3(x − 1)(x+ 1).

Widzimy zatem, że pochodna jest dodatnia (a więc wyjściowa funkcja rośnie) na przedziałach (− ∞ ,− 1) i (1,∞ ) oraz pochodna jest ujemna (wyjściowa funkcja maleje) na przedziale (− 1,1) . Najlepiej sobie to naszkicować – my od razu narysujemy dokładny wykres, ale tak naprawdę w zupełności wystarczy szkic, jak funkcja rośnie i maleje.

Ponieważ funkcja ma minimum lokalne w punkcie x = 1 i na prawo od tego punktu rośnie, to najmniejsza wartość na przdziale ⟨− 3;3⟩ to f (1) lub f (−3 ) . Liczymy, która z tych liczb jest mniejsza

f(− 3) = 2 < f(1) = 18 .

Zatem m = 2 . Podobnie, największa wartośc to f(− 1) lub f(3) . Liczymy

f (−1 ) = 22 < f (3) = 38.

Zatem M = 3 8 .
Odpowiedź: m = 2 , M = 38

Rozwiązanie Losuj ponownie