/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Prostopadłościan

Zadanie nr 7155972

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą graniastosłupa ABCDEF GH jest prostokąt ABCD (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30∘ . Przekątna HB graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60∘ stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Rozwiązanie

Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku podanych kątów.

PIC

Z trójkąta prostokątnego ABD obliczamy długość a drugiej krawędzi podstawy.

√ -- 3- ∘ --3- -3- -9-- √ -- a = tg30 = 3 ⇒ a = √-3 = √ 3-= 3 3. 3

Obliczmy jeszcze długość przekątnej podstawy

∘ -------√----- √ ------- √ --- DB = 3 2 + (3 3 )2 = 9+ 27 = 36 = 6.

Z trójkąta prostokątnego DBH obliczamy długość wysokości graniastosłupa.

h ∘ √ -- √ -- DB--= tg 60 = 3 ⇒ h = 6 3.

Pozostało obliczyć objętość graniastosłupa.

√ -- √ -- V = 3 ⋅3 3 ⋅6 3 = 9⋅6 ⋅3 = 1 62.

 
Odpowiedź: 162

Wersja PDF