Mamy 10 książek, wśród których są książki A, B i C. Ustawiamy... Zadania.info: losowe zadanie, Różne, 8316987

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Różne

Zadanie nr 8316987

Mamy 10 książek, wśród których są książki $A ,B$ i $C$ . Ustawiamy je losowo na pustej półce. Oblicz prawdopodobieństwo, że książki $A$ i $B$ będą stały obok siebie w dowolnym porządku, natomiast $C$ nie będzie sąsiadować z żadną z nich.

Rozwiązanie

Wszystkich możliwych ustawień jest

|Ω | = 1 0!.

Policzymy ile jest zdarzeń sprzyjających, przy czym założymy, że najpierw stoi $A$ , potem $B$ - na koniec otrzymany wynik pomnożymy przez dwa, co będzie odpowiadać zamianie $A$ i $B$ . Skoro $A$ i $B$ stoją obok siebie, będziemy krótko mówić o parze $AB$ . Parę tę możemy postawić na półce na 9 sposobów (na pozycjach $1,2,...,9$ ). Łatwo teraz zauważyć (np. na rysunku), że jak $AB$ stoją na brzegu (na pozycji 1 lub 9), to $C$ można postawić na 7 sposobów (są tylko trzy pola spalone). Pozostałe książki stawiamy dowolnie, więc jest

2 ⋅7 ⋅7!

takich konﬁguracji. Jeżeli para $AB$ stoi w środku (co może się zdarzyć na 9-2=7 sposobów), to są cztery spalone pola, co daje 6 możliwości dla $C$ i mamy