Zadanie nr 9597200

Niech m = log32 . Wykaż, że 2(1+m-) log2 36 = m .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

--1--- −1 m = log32 = log 3 / () 2 -1 = log 3. m 2

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić

2 2 + 2m log2 36 = log2(9 ⋅4) = log2 32 + lo g222 = --+ 2 = -------. m m

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

2-(1+-m-) = 2(log3-3+--log-32)-= 2log3-6-= m lo g32 log 32 2 = log36--= log3-36 = log 36. log 32 lo g32 2

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 3.

log-336 log3(22 ⋅-32) log-322 +-lo-g332- 2m-+--2 log2 36 = log 2 = log 2 = log 2 = m . 3 3 3