Zadanie nr 2466509

Niech log2 9 = c . Wykaż, że 3c+2 lo g354 = c .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

2 2 log 32 c = lo g29 = lo g23 = 2 log23 = ------ / ⋅------ log3 2 c 2- c = log 32.

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić

lo g 54 = lo g (27 ⋅2) = log 33 + log 2 = 3 + 2- = 3c-+-2-. 3 3 3 3 c c

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

3c+ 2 3log 32 + 2 6 lo g 3 + 2 -------= ----2---2---= -----2------= c log2 3 2 lo g23 3log2 3+ log 22 lo g254 = ----log--3------= log--3-= log3 54. 2 2

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 2.

log 54 2log (2⋅33) 2 log 2 + 3 log 32 2+ 3c log3 54 = ----2-- = -----2-------= -----2-----2---2---= ------. log2 3 2log2 3 lo g23 c