Zadanie nr 2679427
Suma początkowych wyrazów ciągu
dla każdego
określona jest wzorem
.
- Wykaż, że ciąg
jest ciągiem arytmetycznym.
- Wykaż, że jeżeli suma
początkowych wyrazów ciągu dla każdego
określona jest wzorem
, to ciąg ten nie jest arytmetyczny.
- Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu
, aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.
Rozwiązanie
- Zauważmy, że mając wzór na sumę ciągu, łatwo jest wyznaczyć wzór na jego wyraz ogólny
.
No i widać, że mamy ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie -12 i różnicy 4. Jeżeli jednak nie jesteśmy tego pewni, to wystrczy sprawdzić czy różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała (nie zależy od
). Liczymy
- Wyliczenie
dla
jest dokładnie takie samo jak poprzednio. To co się nie zgadza, to pierwszy wyraz. Mamy
i
, pomimo, że
dla
.
- Mamy dwie możliwości na kolejność, w której będziemy odejmować sąsiednie wyrazy, to prowadzi do dwóch równań. Zajmijmy się pierwszym z nich (z pierwszego podpunktu wiemy, że
)
Daje to nam trójki wyrazów
i
.
Pozostało rozpatrzyć drugą możliwość.
daje to nam trójkę
.
Odpowiedź: lub
lub