Zadanie nr 2919461
Sześcian największej z czterech różnych liczb całkowitych, tworzących rosnący ciąg arytmetyczny o wyrazach dodatnich, jest równy sumie sześcianów pozostałych liczb. Wykaż, że iloczyn dwóch z tych liczb jest o 60% większy od iloczynu dwóch pozostałych.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy kolejne wyrazy ciągu, o którym mowa w treści zadania przez , to największym wyrazem tego ciągu jest
i wiemy, że liczby te spełniają warunek

Otrzymane równanie rozwiążemy na dwa sposoby.
Sposób I
Wiemy, że ciąg jest rosnący, więc . Podzielmy otrzymane równanie przez
.

Podstawmy teraz .

Szukamy pierwiastków całkowitych tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jednym z pierwiastków jest , więc dzielimy wielomian z prawej strony przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.

Trójmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków, bo . Zatem

i dany ciąg to

W szczególności

To oznacza, że iloczyn jest o 60% większy od iloczynu
.
Sposób II
Jeżeli równanie potraktujemy jak równanie zmiennej z parametrem
, to ewentualnych rozwiązań szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego
. Widać też, że rozwiązanie musi zawierać
(bo inaczej nie wyzerują się składniki z
). Najprostsze dzielniki wyrazu wolnego tej postaci to
i
. Sprawdzając po kolei możemy zauważyć, że równanie jest spełnione przez
– mamy wtedy

Dzielimy teraz równanie przez , my zrobimy to grupując wyrazy.

Liczymy jeszcze –ę trójmianu w pierwszym nawiasie.

W takim razie jedyna możliwość to . Dalszy ciąg rozwiązania przeprowadzamy tak samo, jak w poprzednim sposobie.