/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Równoległobok

Zadanie nr 6273904

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S = (9,11) . Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y = 12x − 1 , a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y = 2x − 4 . Oblicz współrzędne wierzchołka B .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktu wspólnego danych prostych, czyli punktu A . Rozwiązujemy układ równań.

{ y = 1x− 1 2 y = 2x − 4.

Porównujemy prawe strony i mamy

1- 2x − 1 = 2x− 4 3 2 3 = -x ⇒ x = --⋅3 = 2. 2 3

Stąd 1 y = 2x − 1 = 0 i A = (2,0) . Punkt S jest środkiem odcinka AC , więc

S = A--+-C- / ⋅2 2 2S = A + C C = 2S − A = 2 ⋅(9,11 )− (2,0 ) = (18,22) − (2,0) = (16 ,22).

Napiszmy teraz równanie prostej BC . Jest ona równoległa do prostej AD , więc ma równanie postaci y = 2x + b oraz przechodzi przez punkt C . Mamy zatem

2 2 = 2⋅ 16+ b ⇒ b = − 10

i prosta BC ma równanie y = 2x − 10 .

Pozostało teraz wyznaczyć punkt wspólny B prostych AB i BC . Rozwiązujemy układ równań

{ y = 12x − 1 y = 2x − 10

Porównujemy prawe strony i mamy

1-x− 1 = 2x − 10 2 3- 2- 9 = 2x ⇒ x = 3 ⋅ 9 = 6

Stąd y = 1x − 1 = 2 2 i B = (6 ,2) .  
Odpowiedź: B = (6,2)

Wersja PDF