Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Wyszukiwanie zadań

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Dany jest taki czworokąt wypukły ABCD , że okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że jeżeli odcinki MN i PQ są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jaka figurę otrzymamy, łącząc kolejno środki boków: a) rombu, b) prostokąta, c) kwadratu?

Ukryj Podobne zadania

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E . Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A . Oblicz długość boku BC .

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Przedłużenia przeciwległych boków czworokąta wpisanego w okrąg tworzą kąty ostre o miarach 20 ∘ i 40∘ . Oblicz miary kątów czworokąta.

spinner