/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Oblicz długość...

Zadanie nr 7406088

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB , a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

√ --- cos(∡ADB ) = 7, |∡BCD | = 90∘, oraz |AB | > 15. 8

Oblicz długość boku BC tego czworokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy AB = a , to AD = 2a i na mocy twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD mamy

AB 2 = AD 2 + BD 2 − 2AD ⋅BD cosADB 7 a2 = 4a2 + 36 − 2⋅ 2a⋅ 6⋅-- 8 0 = 3a2 − 21a + 36 / : 3 2 0 = a − 7a+ 12 Δ = 49 − 48 = 1 7 − 1 7 + 1 a = ------= 3 lub a = ------= 4. 2 2

Wiemy ponadto, że √ --- √ -- a > 1 5 > 9 = 3 , więc a = 4 .

Jeżeli teraz oznaczymy BC = x , to informacja o okręgu wpisanym w czworokąt ABCD pozwala obliczyć długość boku CD .

AD + BC = AB + CD CD = AD + BC − AB = 2a + x − a = a + x = 4+ x.

Trójkąt BCD jest prostokątny, więc możemy skorzystać w nim z twierdzenia Pitagorasa.

2 2 2 DB = BC + CD 36 = x2 + (4+ x)2 2 0 = 2x + 8x − 20 / : 2 0 = x2 + 4x − 10 √ --- Δ = 16+ 40 = 56 = (2 14)2 √ --- √ --- √ --- x = −-4−--2--14-< 0 lub x = −-4-+-2--14-= − 2 + 14. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

--- BC = x = √ 14 − 2.

 
Odpowiedź: √ --- BC = 1 4− 2

Wersja PDF