Zadanie nr 8319455

Przekątne prostokąta ABCD o polu 1 333 są zawarte w prostych o równaniach y = (p+ 2)x − q i y = (q − 5)x + 2p . Ponadto prosta y = 0 jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz obwód tego prostokąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Zauważmy najpierw, że podana oś symetrii prostokąta nie zawiera jego przekątnej – rzeczywiście, w takiej sytuacji ABCD jest kwadratem i druga z przekątnych byłaby pionowa, a żadna z podanych prostych nie jest pionowa. W takim razie podana oś symetrii przechodzi przez środki przeciwległych boków prostokąta i zamienia jego przekątne ze sobą. Obrazem prostej y = (p+ 2)x − q w symetrii względem osi jest prosta y = −(p + 2)x+ q i musi to być ta sama prosta, co y = (q − 5)x + 2p . Mamy stąd układ równań

{ −p − 2 = q − 5 q = 2p .

Podstawiamy z drugiego równania do pierwszego i mamy

−p − 2 = 2p − 5 ⇒ 3p = 3 ⇒ p = 1.

Stąd q = 2p = 2 i przekątne prostokąta mają równania

y = 3x − 2 i y = − 3x+ 2.

Wyznaczmy punkt wspólny tych prostych, czyli środek prostokąta.

{ y = 3x − 2 y = − 3x + 2.

Dodajemy równania układu stronami i otrzymujemy y = 0 . Stąd x = y+2-= 2 3 3 i (2 ) S = 3,0 .

Używając oznaczeń z powyższego rysunku, niech C = (x ,3x− 2) będzie punktem prostej y = 3x − 2 i E = (x,0) niech będzie środkiem odcinka . Mamy wtedy

CE = 3x − 2 SE = x − 2-. 3

Z drugiej strony wiemy, że pole trójkąta prostokątnego SDC jest równe = 18 ⋅ 1030-= 265 . To prowadzi do równania

( ) 25-= 1CE ⋅SE = 1-(3x− 2) x − 2- / ⋅6 6 2 2 3 2 25 = (3x − 2 )(3x − 2) = (3x − 2) 3x − 2 = − 5 lub 3x − 2 = 5 3x = − 3 lub 3x = 7 x = − 1 lub x = 7. 3

Przy oznaczeniach z naszego rysunku pierwsze rozwiązanie daje punkt A = (x,3x − 2) = (− 1,− 5) , a drugie punkt ( ) C = (x,3x − 2) = 7,5 3 . Prostokąt ABCD jest symetryczny względem osi , więc ( 7 ) B = 3,− 5 i D = (− 1,5) . Obwód prostokąta jest równy