Punkt S=(frac{9}{2},5) jest środkiem symetrii prostokąta ABCD,... Zadania.info: losowe zadanie, Prostokąt, 1913395

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Prostokąt

Zadanie nr 1913395

Punkt $( 9 ) S = 2,5$ jest środkiem symetrii prostokąta $ABCD$ , którego pole jest równe 30, a bok $AB$ jest zawarty w prostej o równaniu $2y − x+ 2 = 0$ . Oblicz współrzędne wierzchołków prostokąta $ABCD$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Zauważmy, że korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej łatwo jest obliczyć długość boku $AD$ prostokąta. Jak to zrobimy, to z podanego pola obliczymy długość drugiego boku prostokąta. Mamy zatem

|1 0− 9+ 2| 15- √ -- AD = 2SE = 2⋅ --√---2-----= 2⋅ √2--= 3 5. 4 + 1 5

Z podanego pola mamy więc

√ -- AD ⋅AB = 30 ⇒ AB = -3√0--= 2 5. 3 5

Zauważmy teraz, że łatwo obliczyć długość odcinka $SA = SB$ – jest to po prostu połowa długości przekątnej prostokąta.

∘ ------------------ 1- 1- √ --2 √ --2 1-√ --- SA = 2AC = 2 (3 5) + (2 5) = 2 65.

Punkty $A$ i $B$ możemy teraz wyznaczyć jako punkty wspólne prostej $AB$ oraz okręgu o środku $S$ i promieniu $SA$ . Rozwiązujemy więc układ równań

{ ( 9)2 2 65 x − 2 + (y− 5) = 4 / ⋅4 2y − x + 2 = 0.

Podstawiamy $2y = x − 2$ z drugiego równania do pierwszego.

(2x − 9)2 + (2y − 10 )2 = 65 2 2 (2x − 9) + (x − 12) = 65 2 2 4x − 36x + 81+ x − 24x + 144 = 65 5x2 − 60x + 160 = 0 / : 10 1-x2 − 6x + 16 = 0 2 Δ = 36 − 32 = 4 x = 6 − 2 = 4 ∨ x = 6 + 2 = 8.

Stąd odpowiednio $x−2- y = 2 = 1$ i $x−2- y = 2 = 3$ . Zatem $A = (4,1),B = (8,3)$ . Współrzędne punktów $C$ i $D$ obliczamy ze wzoru na środek odcinka.