Zadanie nr 9705291

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa √ -- 12 3 , a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 36. Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Zanim spróbujemy dokładnie zrozumieć co mamy obliczyć, popatrzmy co mamy dane:

{ √ -- 2√ - 12 3 = V = a--3 ⋅H ⇒ 12 = a⋅aH 4 4 36 = Pb = 3aH ⇒ 12 = aH .

Podstawiając z drugiego równania do pierwszego mamy

a 12 = --⋅1 2 = 3a ⇒ a = 4. 4

Zatem H = 12 = 3 a .

Teraz popatrzmy czego szukamy. Aby wiedzieć jaki jest kąt między przekątną , a ścianą ABED musimy znaleźć rzut tej przekątnej na tę ścianę. Rzut ten będzie odcinkiem, którego jednym końcem będzie (bo przy rzucie stoi w miejscu), a drugi koniec będzie rzutem punktu . Zauważmy, że jeżeli jest środkiem krawędzi to odcinek jest prostopadły do płaszczyzny ABED . To oznacza, że rzutem na tę płaszczyznę jest odcinek i interesujący nas kąt to ∡P BF .