/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
formuła 2015
poziom rozszerzony 11 czerwca 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba 3⋅log6 81 log27 jest równa
A) 6561 B) 383 C) 1296 D) 4⋅log189 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ( √ -) 3 ( √ -) 3 2 − 4 3 − 2 + 4 3 jest równa
A) √ -- − 128 3 B) √ -- − 384 3 C) √ -- − 1184 3 D) √ -- − 480 3

Zadanie 3
(1 pkt)

W trójkącie ABC bok AB ma długość √ -- 4 6 . Ponadto |∡BAC | = α , |∡ABC | = β oraz √ - 2--6 sin (α+ β) = 7 . Długość okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równa
A) 14π B) √ -- 14 6 π C) 49 π D) √- 14-6π 5

Zadanie 4
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 3 2 f(x ) = 2x + 4x − 9 dla każdej liczby rzeczywistej x . Prosta o równaniu y = ax + b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P = (− 2,− 9) . Współczynnik a w równaniu tej stycznej jest równy
A) 8 B) − 2 C) − 1 D) − 11

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz granicę -√-15n+-24--- nl→im+ ∞ 2⋅ 3n2+4n−2 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.

Zadanie 7
(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby dodatniej b takich, że a+ b = 1 , prawdziwa jest nierówność

--1---+ --1----≥ 4. 2a+ b a+ 2b 3

Zadanie 8
(3 pkt)

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe a oraz b , przy czym a > b . W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od a⋅b .

Zadanie 9
(4 pkt)

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.

a1 + a3 + a5 + ...= 16.

Ponadto 5 a1 + a3 = 2 ⋅a2 . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu (an) .

Zadanie 10
(4 pkt)

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt ABC . Długość boku AB jest równa 6. Bok BC ma długość √ -- 4 3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku AC trójkąta ABC .

Zadanie 11
(4 pkt)

Rozwiąż równanie √ -- sin 6x + 3 ⋅sin5x + sin 4x = 0 .

Zadanie 12
(4 pkt)

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka √-11 6 . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zadanie 13
(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu 3x + y + 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = x 2 − 2x − 8 w punktach A oraz B , które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu 1 y = − 2x + 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa √ -- 9--10- 5 . Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

Zadanie 14
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

(3− m) ⋅x2 + (m + 1)⋅x − (m + 1)2 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 spełniające warunek

x21 + x22 = x1 ⋅x2 + 7.

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech x oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

  • Wykaż, że pole P trapezu jako funkcja długości x odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

    ∘ --------- P(x ) = x ⋅ 100 − x 2.

  • Wyznacz dziedzinę funkcji P(x) .

  • Oblicz długość x odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania