/Szkoła średnia/Zadania maturalne
Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
formuła 2015
poziom rozszerzony 11 czerwca 2024 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Liczba jest równa
A) 6561 B) C) 1296 D)
Liczba jest równa
A) B)
C)
D)
W trójkącie bok
ma długość
. Ponadto
,
oraz
. Długość okręgu opisanego na trójkącie
jest równa
A) B)
C)
D)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Prosta o równaniu
jest styczna do wykresu funkcji
w punkcie
. Współczynnik
w równaniu tej stycznej jest równy
A) 8 B) C)
D)
Zadania otwarte
Oblicz granicę .
Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej
takich, że
, prawdziwa jest nierówność
![--1---+ --1----≥ 4. 2a+ b a+ 2b 3](https://img.zadania.info/zes/0043566/HzesT33x.png)
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe oraz
, przy czym
. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od
.
Nieskończony ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Suma wszystkich wyrazów ciągu
o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
![a1 + a3 + a5 + ...= 16.](https://img.zadania.info/zes/0043566/HzesT41x.png)
Ponadto . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu
.
W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt . Długość boku
jest równa 6. Bok
ma długość
i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku
trójkąta
.
Rozwiąż równanie .
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka
. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu
przecina parabolę o równaniu
w punktach
oraz
, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku
. Wierzchołek
ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek
leży na prostej o równaniu
i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu
od prostej zawierającej bok
równoległoboku jest równa
. Oblicz długość boku
tego równoległoboku.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![(3− m) ⋅x2 + (m + 1)⋅x − (m + 1)2 = 0](https://img.zadania.info/zes/0043566/HzesT67x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
![x21 + x22 = x1 ⋅x2 + 7.](https://img.zadania.info/zes/0043566/HzesT69x.png)
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
-
Wykaż, że pole
trapezu jako funkcja długości
odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem
-
Wyznacz dziedzinę funkcji
.
-
Oblicz długość
odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.