/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 6 marca 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(3 pkt)

Naszkicuj wykresy funkcji √ -- f(x) = 1+ log 3( 3x) i 5√ 5 g(x) = lo g5--x- , gdzie x ∈ (0,+ ∞ ) . Odczytaj z wykresów zbiór rozwiązań nierówności f(x) ≤ g(x) .

Zadanie 2

(5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy równej 6, poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez wysokość podstawy oraz wierzchołek górnej podstawy. Wiedząc, że płaszczyzna ta tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze ∘ 60 oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zadanie 3

(5 pkt)

W czworokącie ABCD dane są −→ − → AB = [6,− 3],DA = [− 8,− 7] oraz środek S = (3,2) przekątnej . Wyznacz współrzędne rzutu prostopadłego punktu na prostą .

Zadanie 4

(5 pkt)

Wyznacz wartości parametrów i dla których jedynymi rozwiązaniami równania

4 3 2 x + (a − b)x − (ab + 1)x − (a − b)x + ab = 0

są liczby x = −1 i x = 1 .

Zadanie 5

(4 pkt)

W trójkącie ABC poprowadzono wysokości i oraz dwusieczną . Wiedząc, że |BE | = 3 ⋅|AD | oblicz stosunek pól trójkątów AF C i BCF .

Zadanie 6

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru proste x = my + 1 oraz y = mx − 1 przecinają się w jednym punkcie, który leży poniżej prostej x = 1− 4y ?

Zadanie 7

(4 pkt)

Rozwiąż układ równań { 2x+ xy + 2y = −1 3 x− 2xy + y = 4 6.

Zadanie 8

(5 pkt)

Dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest o 48 mniejszy od sumy jego pierwszych 7 wyrazów. Oblicz sumę pierwszych 33 wyrazów tego ciągu wiedząc, że iloczyn a a 15 19 ma najmniejszą możliwą wartość.

Zadanie 9

(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli trójkąt nie jest rozwartokątny, oraz miara jednego z jego kątów spełnia warunek 2cos2α- sinα + co sα ≤ sin2α−2 to trójkąt ten jest prostokątny.