/Szkoła średnia/Zadania maturalne
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 2 marca 2024 Czas pracy: 180 minut
W chwili początkowej masa substancji jest równa 20 g. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 20% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od .
Karol i Antek grają w rzutki. Karol trafia w środek tarczy z prawdopodobieństwem , a Antek z prawdopodobieństwem
. Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba podzielna przez 3, to Karol dwa razy rzuca do tarczy. W przeciwnym wypadku Antek dwa razy rzuca do tarczy. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na tym, że w żadnym z tych dwóch wykonanych rzutów nie zostanie trafiony środek tarczy.
Wykaż, że jeżeli pierwiastkiem wielomianu
![W (x) = (kx − 3)(kx + 2)(kx− 12)(x + 8) + kx](https://img.zadania.info/zes/0061844/HzesT3x.png)
jest liczba całkowita podzielna przez 5, to nie jest liczbą całkowitą.
Oblicz granicę ciągu
![n lim ---------------------5----------------------. n→ + ∞ 5n + 5n−1 ⋅3+ 5n−2 ⋅32 + ⋅⋅⋅+ 5⋅3n− 1 + 3n](https://img.zadania.info/zes/0061844/HzesT5x.png)
Dany jest kwadrat o boku długości 3. Punkty
i
leżą na prostych – odpowiednio –
i
tak, że
i
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina przekątną
tego kwadratu w punkcie
.
Wykaż, że .
Funkcja jest określona wzorem
dla każdego
, i ustalonej liczby rzeczywistej
. Prosta
jest styczna do wykresu funkcji
. Oblicz
.
Rozwiąż równanie w zbiorze
.
Rozwiąż nierówność .
Przekątne czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie
tak, że
,
i
. Ponadto
(zobacz rysunek).
Oblicz długości boków czworokąta oraz promień opisanego na nim okręgu.
Oblicz długość odcinka łączącego środki przeciwległych krawędzi czworościanu foremnego o krawędzi długości .
Informacja do zadań 11.1 i 11.2
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem
dla dowolnej liczby rzeczywistej
.
Parabola będąca wykresem funkcji przecina prostą
w punktach
i
. Wykaż, że suma kwadratów pierwszych współrzędnych punktów
i
jest równa
.
Na paraboli znajdź taki punkt
, który leży powyżej osi
, i dla którego stosunek jego pierwszej współrzędnej do drugiej jest najmniejszy możliwy.
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta
o równaniu
przecina parabolę o równaniu
w punktach
oraz
. Odcinek
jest średnicą okręgu
. Punkt
leży na okręgu
poniżej prostej
, a kąt
jest ostry i ma miarę
taką, że
(zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu .