/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 27 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Oblicz granicę ( 3 2 3 2) −2 lim 6n3n+2−n1 − 4n2n−2+3n1- n→+ ∞ .

Zadanie 2
(2 pkt)

Wielomian W (x) = x3 − x2 + px + q można dwukrotnie podzielić bez reszty przez dwumian (x+ 2) . Oblicz p i q .

Zadanie 3
(2 pkt)

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem. Wykaż, że jeżeli okręgi o średnicach AB i CD są styczne zewnętrznie, to równoległobok ABCD jest rombem.

Zadanie 4
(3 pkt)

Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x + y = − 2 i nierówność

4 4 3 3 x + y + xy(x + y ) ≤ 0 .

Wykaż, że x = − 1 oraz y = − 1 .

Zadanie 5
(3 pkt)

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii oświetlenia ulic w pewnym mieście w godzinach wieczornych pojedynczego dnia jest równe 0,2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w okresie sześciu dni wystąpią co najwyżej trzy takie dni, w których nastąpi awaria oświetlenia ulic w tym mieście w godzinach wieczornych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych.

Zadanie 6
(4 pkt)

Rozwiąż równanie 2 cos3x = 3sin 2x w przedziale [20 23π ,2 024π ]

Zadanie 7
(4 pkt)

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2 3 4 -6x--- --18x---- --54x---- 2x − x − 1 + (x − 1 )2 − (x− 1)3 + ...

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest różna od 0,3.

Zadanie 8
(4 pkt)

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 12 i |CD | = 13 , jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem CD kąt, którego tangens jest równy 120 119 . Tangens kąta CDA jest równy 12 5 . Oblicz długość odcinka AB .

Zadanie 9
(4 pkt)

Ze zbioru liczb {1 ,2,3,...,n} , dla n ≥ 4 losujemy bez zwracania dwie liczby a i b . Oblicz n jeżeli wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że wylosowane liczby a i b spełniają nierówność

|a − b| > 3

jest równe 50 63 .

Zadanie 10
(5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEF GHIJKL płaszczyzna ABQ przechodzi przez krawędź AB i przez środek Q krawędzi DJ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Stosunek pola przekroju graniastosłupa płaszczyzną ABQ do pola jego podstawy jest równy 178 . Oblicz objętość graniastosłupa ABCDEF GHIJKL , jeżeli jego krawędź boczna ma długość b .

Zadanie 11
(6 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem

lo g √ 5- f (x) = 46log8x−0,5 + (log 0,1x)3 + ----3-----⋅x2 + 6x log2430,2

dla każdej liczby [ ] x ∈ 12,3 . Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 mx + (m − 1 )x− 2m − 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 oraz x2 , spełniające warunki:

1-- -1- x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz x2+ x2 > 1. 1 2

Zadanie 13
(6 pkt)

Rozważamy wszystkie proste na płaszczyźnie, które są jednocześnie styczne do wykresu funkcji homograficznej y = 2−x- x−1 oraz do okręgu o równaniu 2 2 (x + 2) + (y − 2) = 2 . Wyznacz równania tych spośród rozważanych prostych, których współczynniki kierunkowe są liczbami wymiernymi.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania