/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 25 marca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Oblicz

log4-6⋅log-3664 lo g √421 6 . 6

Zadanie 2
(3 pkt)

Prostą o równaniu y = 0,25x przesunięto o wektor postaci [1 ,m] w taki sposób, że przesunięta prosta jest styczna do wykresu funkcji 1−x2 y = -x2- . Oblicz wartość m .

Zadanie 3
(2 pkt)

Oblicz granicę

4n + 4n−1 ⋅3+ 4n−2 ⋅32 + ⋅⋅⋅+ 4⋅3n− 1 + 3n lim --------------------------------------------. n→ + ∞ 4n

Zadanie 4
(3 pkt)

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe 0,05. Oblicz, ile torebek herbaty należy poddać kontroli, aby prawdopodobieństwo otrzymania w kontrolowanej partii przynajmniej jednej torebki z niedowagą było większe niż 0,7.

Zadanie 5
(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie x > y spełniają warunki: x − y = p i x3 − y3 = q , to

∘ 12pq-−-3p-4 x2 − y2 = --------------. 3

Zadanie 6
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cosx + co s2x + cos 3x = 0 w przedziale [0,2π] .

Zadanie 7
(4 pkt)

W romb o boku a wpisano dwa okręgi w ten sposób, że okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do dwóch sąsiednich boków rombu przecinających się pod kątem ostrym α (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że suma promieni tych okręgów jest równa 2+√2a2s−in2αcosα- .

Informacja do zadań 8.1 i 8.2

Na przedziale [− 1,7 ] określono dwie funkcje: √ ------- f(x) = 2x + 2 i √ --------- g (x ) = − 18x + 18 . Rozpatrujemy wszystkie trapezy ABCD , których wierzchołki A i D leżą na wykresie funkcji f , a wierzchołki B i C leżą na wykresie funkcji g . Podstawy rozpatrywanych trapezów są równoległe do osi Oy (zobacz rysunek).

PIC
Zadanie 8.1
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli pierwsza współrzędna punktów C i D jest równa 7, a druga współrzędna punktu A jest równa y , to pole trapezu ABCD jest równe

P(y ) = −y 3 − 4y2 + 16y + 64.

Zadanie 8.2
(5 pkt)

Oblicz współrzędne wierzchołków tego z rozpatrywanych trapezów, w którym |CD | > |AB | , i który ma największe możliwe pole. Oblicz to największe pole. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że jeżeli pierwsza współrzędna wierzchołka C trapezu ABCD jest równa 7, a druga współrzędna wierzchołka A jest równa y , to pole trapezu wyraża się wzorem

P(y ) = −y 3 − 4y2 + 16y + 64.

Zadanie 9
(5 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o podstawie ABC . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że √3 co sα = 3-- . Przez środek K krawędzi CA i środek L krawędzi AB poprowadzono płaszczyznę π prostopadłą do płaszczyzny SBC . Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zadanie 10
(6 pkt)

Dane jest równanie

2 (x − 2 )⋅[(m − 7)x + 2(m + 3 )x− (2m + 3)] = 0

z niewiadomą x i parametrem m ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Zadanie 11
(5 pkt)

Dane są 4 liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a 3 ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej wynosi 22, a suma drugiej i trzeciej wynosi 4. Wyznacz te 4 liczby.

Zadanie 12
(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest romb ABCD , którego bok CD i przekątna AC są zawarte w prostych o równaniach y − x − 1 = 0 i y − 3x + 1 = 0 odpowiednio. Promień okręgu wpisanego w romb ABCD jest równy √ -- 2 2 , a środek tego okręgu leży poniżej osi Ox . Oblicz współrzędne punktu styczności okręgu wpisanego w romb ABCD z jego bokiem BC .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania