/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 4 marca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a ) n określony dla n ≥ 0 , którego iloraz jest równy √3 q = -3- . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa √ -- 51( 3 + 1) . Oblicz a5 .

Zadanie 2
(3 pkt)

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji y = (x1−−22x)2- w punkcie x0 = 1 .

Zadanie 3
(4 pkt)

Wiedząc, że a = log 218 i b = log 215 oblicz log3 360 .

Zadanie 4
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 x − (m + 5)x + m + 9m + 20 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 , spełniające warunek

x31 + x32 > 5x 21 ⋅x 2 + 5x 1 ⋅x22.

Zadanie 5
(3 pkt)

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 9.

Informacja do zadań 6.1 i 6.2

Funkcja g jest określona wzorem | | | 1 2 | g(x) = |− 3x + 2x + 9| dla każdego x ∈ R . Fragment wykresu funkcji g w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

PIC
Zadanie 6.1
(2 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja g przyjmuje w przedziale [2,11] .

Zadanie 6.2
(2 pkt)

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m , dla których równanie g(x ) = |m | ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Zadanie 7
(5 pkt)

Rozwiąż równanie

√ -- sin 2x + 2sin2 x = 2 + 6 cosx

w przedziale [− π ,π] .

Zadanie 8
(3 pkt)

Podstawy trapezu ABCD mają długości |AB | = a i |CD | = b , przy czym a > b . Udowodnij, że odcinek łączący środki przekątnych tego trapezu ma długość a−b- 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 4 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny i przekładamy ją do drugiej urny. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dwie kule wylosowane z drugiej urny są w różnych kolorach.

Zadanie 10
(6 pkt)

Punkty A = (− 2,− 4) i B = (11,− 2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Wierzchołek C tego trójkąta leży na prostej y = 2x + 14 , a dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie ( 7 10) D = 3,− 3 . Oblicz współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC .

Zadanie 11
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ABC (|AB | = |AC | ), na których opisano okrąg o promieniu R = 2 . Niech d oznacza długość ramienia AB trójkąta.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości d , wyraża się wzorem √ -------- P(d) = 116d3 16 − d2 .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długość ramienia d tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Zadanie 12
(4 pkt)

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Przez krawędź podstawy tego ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem β , i która przecina przeciwległą krawędź ostrosłupa (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola powierzchni podstawy ostrosłupa jeżeli wiadomo, że 5sin α = 4sin(α + β ) .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania