/Szkoła średnia/Zadania maturalne

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 10 kwietnia 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt)

Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykają się w miejscu . Mijanie się pociągów trwa 20 s, a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszają się ruchem jednostajnym.

Zadanie 2

(5 pkt)

Wyznacz dziedzinę funkcji

∘ ------------------- 3 3 3 3 5− x y = --+ -2-+ -3-+ -4 + lo g2x+2 -----. x x x x 6− x

Zadanie 3

(6 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach |AD | = 3 i |DC | = 24 .

Oblicz długości boków trójkąta .
Oblicz długość odcinka , gdzie jest punktem wspólnym dwusiecznej kąta i boku .

Zadanie 4

(4 pkt)

Dane są dwa nieskończone ciągi (x ) n i (y ) n takie, że dla każdego n ≥ 1 , punkt o współrzędnych (yn + n ,xn) jest środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (xn ,yn),B = (− 2,1 ),C = (4,− 3) . Wyznacz wzory ciągów (xn) i (yn ) .

Zadanie 5

(5 pkt)

Prawdopodobieństwa zdarzeń i oraz zdarzeń do nich przeciwnych spełniają warunki: P (A ∪ B ′) = 0 ,2 3 i P(A ′ ∪ B ′) = 0 ,81 .

Oblicz .
Wykaż, że jeżeli to .

Zadanie 6

(5 pkt)

Wykaż, że równanie nie ma rozwiązań w przedziale .
Wykaż, że równanie
$sinx cos4x − 2sinx cos2 x− 8cos2 x+ 2sin x+ 9 = 0$

nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 7

(5 pkt)

Środki okręgów i znajdują się po różnych stronach prostej y = − 3x+ 2 , która zawiera punkty wspólne tych okręgów. Wiedząc, że promień okręgu jest równy √ -- 7 2 oraz, że okrąg o 1 ma równanie 2 2 (x + 1) + (y − 3) = 20 , wyznacz równanie okręgu .

Zadanie 8

(5 pkt)

Proste k,l,m są parami różne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór składający się z punktów ( n ≥ 3 ), przy czym na każdej z prostych wybrano punktów. Wiadomo ponadto, że jeżeli trzy punkty zbioru leżą na jednej prostej, to prostą tą jest k ,l lub . Oblicz ile jest trójkątów o wierzchołkach należących do zbioru .

Zadanie 9

(6 pkt)

Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego ABCS o wierzchołku mają długość ∘ ----√--- 2+ 3 . Wiedząc, że √ -- |∡ASB | = 30∘,|BC | = 3,|AC | = 2 oblicz objętość tego ostrosłupa.