Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 24 kwietnia 2021 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W (x) = x7 − 5ax5 + 4bx 4 − 6x + 8 jest podzielny przez wielomian (x2 − 1) . Zatem
A) a + b = − 1 . B) a + b = − 2 . C) a + b = − 3 . D) a + b = 0 .

Zadanie 2
(1 pkt)

Prosta k : 2x+ y+ b = 0 ma dwa punkty wspólne z parabolą  2 y = −x − 3 wtedy i tylko wtedy, gdy
A) b < 2 B) b > − 2 C) b < − 2 D) b > 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Wyrażenie (2n+n1) : (2n−n1) dla liczby naturalnej n ≥ 2 jest równe
A) -n−1- 2n− 1 B) 2n+1- 2n−1 C) 2 D) 4nn++12

Zadanie 4
(1 pkt)

Rozwiązaniem nierówności 8 x3 ≤ 1 jest zbiór
A) (− ∞ ,2⟩ B) (− ∞ ,0) ∪ ⟨2,+ ∞ ) C) ⟨2,+ ∞ ) D) (0,2 ⟩

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

W trójkącie ABC bok BC jest 3 razy krótszy od boku AC , a długość boku AB stanowi 52 długości boku BC . Oblicz cosinus największego kąta trójkąta ABC .

Zadanie 6
(3 pkt)

Z punktu  ( ) A = 1,3 2 poprowadzono styczne do wykresu funkcji y = 2x − x2 . Wyznacz równia tych stycznych.

Zadanie 7
(3 pkt)

Dana jest liczba k > 1 . Wyrazy ciągu (an) , określonego dla n ≥ 1 , spełniają warunki

{ 2 lim (a1 + a2 + ...+ an ) = kk−1- n→ + ∞ 1 + logk an+1 = logk an, dla n ≥ 1.

Udowodnij, że

 k6 lim (a21 + a23 + a25 + ...+ a22n+1) = ------. n→ + ∞ k4 − 1

Zadanie 8
(4 pkt)

Wiadomo, że  π- 2π- 1 cos 5 co s 5 = 4 . Udowodnij, że przekątna pięciokąta foremnego o boku długości 1 ma długość  √ - 1+--5 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF ma długość 4 (zobacz rysunek).


PIC


Oblicz odległość wierzchołka F tego graniastosłupa od płaszczyzny DEC .

Zadanie 10
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

 √ -- tgx + 1 + -1--+ -1---+ ...= --3-(1+ tg x) tg 2x, tg x tg 2x 2

w którym lewa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

Zadanie 11
(4 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie cztery cyfry 4 i dokładnie dwie cyfry 2.

Zadanie 12
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których pierwiastki wielomianu W (x) = x3 + (m − 6)x2 + (m − 7)x tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 13
(5 pkt)

Jeden bok kwadratu opisanego okręgu o równaniu x2 + y2 − 8x + 2y − 3 = 0 jest zawarty w prostej o równaniu x+ 2y− 12 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

Zadanie 14
(5 pkt)

W pudełku znajduje się n > 2 sześciennych kostek do gry, przy czym k spośród tych kostek (k > 0 i k < n ) ma na dwóch ściankach jedno oczko, a na pozostałych czterech ściankach sześć oczek. Wybieramy losowo jedną z tych kostek i wykonujemy nią cztery kolejne rzuty. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kostka miała jedno oczko na dwóch ściankach, jeżeli wiadomo, że w każdym z czterech wykonanych rzutów otrzymano ściankę z sześcioma oczkami.

Zadanie 15
(7 pkt)

Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu R należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).


PIC


Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.

ArkuszWersja PDF