Zadanie nr 6899589
Kąty ostre trójkąta o polu
mają miary
,
. Oblicz długości boków
i
tego trójkąta.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Ze wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy
![1 S = -ac sin β. 2](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR1x.gif)
Z drugiej strony, na mocy twierdzenia sinusów mamy
![a c c c asin(α + β ) sinα- = sin-∡C- = sin-(180∘ −-(α+--β))-= sin-(α+--β)- ⇒ c = ----sin-α----.](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR2x.gif)
Podstawiając to do poprzedniej równości mamy
![S = 1a ⋅ asin(α-+-β-)sin β = a2 ⋅ sin(α-+-β)-sin-β 2 sin α 2sin α 2 2Ssin α a = ---------------- ∘sin-(α+--β)sin-β--- 2S sin α a = ----------------. sin(α + β) sin β](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR3x.gif)
Obliczamy (ze wzoru otrzymanego na początku rozwiązania)
![∘ ---------------- ∘ -------------- sin(α + β ) 2S sin α sin(α + β ) 2Ssin(α + β ) c = a⋅----------- = ----------------⋅-----------= -------------. sin α sin (α+ β) sin β sinα sin αsin β](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR5x.gif)
Sposób II
Tym razem dorysujmy wysokość i niech
. Mamy wtedy
![CD-- = tg α ⇒ AD = -x-- AD tgα CD x ----= tgβ ⇒ BD = ----. DB tg β](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR8x.gif)
Korzystamy teraz z podanego pola.
![( ) S = 1AB ⋅CD = 1-⋅ -x--+ -x-- ⋅x = tg-α-+-tg-β-⋅x2 2 2 tgα tg β 2 tg α tg β ∘ ------------ x = 2S-tgα-tgβ-. tg α+ tg β](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR9x.gif)
Mamy stąd
![( ) ∘ ------------ ∘ ---------------- c = -1-- + -1-- ⋅x = tg-α+--tg-β-⋅ 2S-tg-α-tg-β-= 2S-(tgα-+-tg-β). tg α tg β tg αtg β tgα + tg β tgα tgβ](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR10x.gif)
Długość boku obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie
.
![∘ ----------- ∘ ---------- ∘ ---------- x2 1 + tg2 β a = DB 2 + x2 = ---2- + x2 = x ----2---- tg β tg β ∘ ------------ ∘ -------2-- ∘ --------------2--- = 2Stg-αtg-β-⋅ 1+--tg--β-= 2S-tg-α(1+--tg--β)-. tgα + tg β tg 2β (tg α + tg β)tg β](https://img.zadania.info/zad/6899589/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: ,