Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4731595

W kąt o mierze  ∘ 60 wpisano pięć kół tak, że każde następne koło poza pierwszym, jest styczne zewnętrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest większa od pola najmniejszego koła.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku – rysujemy dwa sąsiednie koła i spróbujemy ustalić jaki jest związek między ich promieniami.


PIC


Przyjmijmy oznaczenia z rysunku, tzn. mniejszy okrąg niech ma środek O1 i promień r , a większy środek O 2 i promień R . Ponadto niech A będzie wierzchołkiem kąta, a B punktem styczności większego okręgu z ramieniem kąta.

Zauważmy, że środki okręgów wpisanych w kąt leżą na dwusiecznej tego kąta, czyli

∡BAO 1 = 1-⋅60∘ = 30 ∘. 2

Niech C będzie punktem wspólnym promienia O 2B i prostej równoległej do ramienia AB kąta, która przechodzi przez O 1 . Otrzymany trójkąt O 1CO 2 jest prostokątny i

∡CO 1O2 = ∡BAO 1 = 3 0∘.

Ponadto O 1O2 = R + r i CO 2 = R − r , czyli

 -CO-2- sin ∡CO 1O 2 = O 1O 2 1 R − r --= ------ 2 R + r R + r = 2R − 2r 3r = R.

Wiemy już jaka jest zależność między promieniami kolejnych okręgów, więc wracamy do treści zadania. Jeżeli przez r oznaczmy promień najmniejszego okręgu wpisanego w kąt, to kolejne okręgi mają promienie 3r,32r,33r,34r i interesujący nas stosunek pól jest równy

πr2 + π ⋅3 2r2 + π ⋅ 34r2 + π ⋅ 36r2 + π ⋅ 38r2 -----------------------2-------------------- = 1 + 32 + 34 + 36 + 38. πr

Otrzymaną sumę możemy obliczyć na kalkulatorze, ale możemy też skorzystać ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Mamy ciąg, w którym a = 1 1 i q = 32 , czyli

 2 4 6 8 1 − (32)5 310 − 1 590 48 S 5 = 1 + 3 + 3 + 3 + 3 = -------2- = -------= ------ = 73 81. 1− 3 8 8

 
Odpowiedź: 7381 razy.

Wersja PDF