/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 4979382

Dany jest trójkąt ABC . Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD | = |DE | . Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że z podanych informacji wynika, że odcinek DE jest środkową w trójkącie prostokątnym BDC . Ponieważ środek E przeciwprostokątnej BC tego trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BDC , mamy

EC = ED = EB .

Ponadto z założenia CD = DE , więc trójkąt CDE jest rzeczywiście równoboczny.

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinek EF prostopadły do AB .

PIC

Zauważmy, że z założenia

CD- sin ∡F DE = EF--= -2--= 1. DE CD 2

Zatem ∘ ∡F DE = 30 i

∘ ∘ ∘ ∘ ∡CDE = 90 − ∡F DE = 90 − 30 = 60 .

To z kolei oznacza, że trójkąt CDE jest równoramienny z kątem między ramionami równym 60∘ . Jest to więc trójkąt równoboczny.

Wersja PDF