/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Prostokąt

Zadanie nr 7702348

W prostokącie ABCD wierzchołek połączono odcinkami ze środkami i boków i , zaś i to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną .

Uzasadnij, że odcinki i są jednakowej długości.
Uzasadnij, że trójkąty i mają równe pola.

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy drugą przekątną prostokąta.

Ponieważ przekątne prostokąta dzielą się na połowy, odcinki i są środkowymi trójkąta . Ponieważ środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka), mamy
$AM = 2AS = 2AC = 1AC . 3 6 3$

Podobnie, patrząc na trójkąt , uzasadniamy, że

$2 2 1 CN = --CS = -AC = --AC . 3 6 3$

Zatem każdy z odcinków i jest równy .
Trójkąty i mają wspólną podstawę , a ich wysokości mają się jak
$ED-- = 3 : 1 EM$

(twierdzenie Talesa). Zatem

$1 1 1 PAEM = --PAED = --PABD = ---PABCD . 3 6 12$

Podobnie dla trójkąta .

$P = 1-P = 1P = 1-P . CNF 3 CDF 6 CDB 12 ABCD$

Sposób II

Tym razem nie będziemy nic dorysowywać (patrzymy na oryginalny rysunek). Trójkąty i mają równe kąty, są więc podobne. W dodatku skala ich podobieństwa to . Zatem
$1 1 AM = --MC ⇒ AM = --AC . 2 3$

Podobnie, patrząc na trójkąty podobne i mamy

$CN = 1-NA ⇒ CN = 1AC , 2 3$

co kończy dowód.
Z opisanego wyżej podobieństwa, wystarczy wykazać, że trójkąty i mają równe pola. Oba te trójkąty mają jednak równe podstawy oraz wspólną wysokość, która jest na nie opuszczona.

Rozwiązanie Losuj ponownie