/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 2778257

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność

( )2 2 2 a-+-b- a-+--b- 2 ≤ 2 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

( ) 2 2 2 a+--b- ≤ a-+--b- / ⋅4 2 2 2 2 2 2 a + 2ab + b ≤ 2a + 2b 0 ≤ a2 − 2ab + b2 2 0 ≤ (a− b ) .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Wersja PDF