/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 4792865

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność

x2 + 49y2 > 2(x + 7y − 1).

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,

2 2 x + 4 9y > 2(x + 7y − 1 ) (x 2 − 2x + 1)+ (49y2 − 14y + 1) > 0 (x − 1 )2 + (7y − 1 )2 > 0.

Oczywiście nierówność ta jest spełniona (bo x ⁄= 1 ), a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić

4 9y2 − 14y + (x2 − 2x + 2) > 0

jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą y i parametrem x . Liczymy Δ –ę.

Δ = 196 − 4 ⋅49(x2 − 2x + 2) = 196(1 − x2 + 2x − 2) = = − 196(x2 − 2x + 1 ) = − 196(x − 1)2.

Ponieważ Δ jest ujemna (bo x ⁄= 1 ), powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony jest powyżej osi Ox ).

Wersja PDF