/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 3605332

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P . Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

Niech r i H oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.

PIC

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 P = 2 ⋅πr + 2πrH / : 2 π P 2 P 2 ---= r + rH ⇒ rH = --- − r . 2π 2π

Liczymy objętość walca.

( ) 2 -P- 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr 2π − r .

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji

( P ) P f(r) = r ---− r2 = −r 3 + ---r 2π 2π

określonej dla ( ∘ --) r ∈ 0, P-- 2π . Liczymy

( ) ( ∘ ---) ( ∘ ----) ′ 2 P 2 P P P f (r) = − 3r + --- = −3 r − --- = − 3 r− --- r + --- . 2 π 6π 6π 6π

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale ( ∘ --) 0 , 6Pπ- i ujemna w przedziale (∘ ---∘ --) P-, P-- 6π 2π . To oznacza, że w punkcie ∘ --- r = -P- 6π funkcja f osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa

( ) ∘ ----( ) ∘ ---- ∘ ---- P-- 2 -P- -P- -P- -P- P-- P- P-- V = πr 2π − r = π ⋅ 6π ⋅ 2π − 6 π = π ⋅ 6π ⋅ 3π = 3 ⋅ 6π .

Wysokość walca jest wtedy równa

P 2 P P ∘ ---- ∘ ---- -2π −-r- -2π-−--6π- -P- 6-π 2P- H = r = ∘ -P- = 3π P = 3π . 6π

 
Odpowiedź: ∘ --- ∘ --- ∘ --- P-- 2P- P- P-- r = 6π, H = 3π , V = 3 ⋅ 6π .

Wersja PDF