Zadanie nr 3605332
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej . Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Rozwiązanie
Niech i
oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.
Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy
![2 P = 2 ⋅πr + 2πrH / : 2 π P 2 P 2 ---= r + rH ⇒ rH = --- − r . 2π 2π](https://img.zadania.info/zad/3605332/HzadR3x.gif)
Liczymy objętość walca.
![( ) 2 -P- 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr 2π − r .](https://img.zadania.info/zad/3605332/HzadR4x.gif)
Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji
![( P ) P f(r) = r ---− r2 = −r 3 + ---r 2π 2π](https://img.zadania.info/zad/3605332/HzadR5x.gif)
określonej dla . Liczymy
![( ) ( ∘ ---) ( ∘ ----) ′ 2 P 2 P P P f (r) = − 3r + --- = −3 r − --- = − 3 r− --- r + --- . 2 π 6π 6π 6π](https://img.zadania.info/zad/3605332/HzadR7x.gif)
Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że w punkcie
funkcja
osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa
![( ) ∘ ----( ) ∘ ---- ∘ ---- P-- 2 -P- -P- -P- -P- P-- P- P-- V = πr 2π − r = π ⋅ 6π ⋅ 2π − 6 π = π ⋅ 6π ⋅ 3π = 3 ⋅ 6π .](https://img.zadania.info/zad/3605332/HzadR12x.gif)
Wysokość walca jest wtedy równa
![P 2 P P ∘ ---- ∘ ---- -2π −-r- -2π-−--6π- -P- 6-π 2P- H = r = ∘ -P- = 3π P = 3π . 6π](https://img.zadania.info/zad/3605332/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: .