Szkicujemy trapez równoramienny.
Sposób I
Oznaczmy . Wtedy wysokość trapezu jest równa
a jego pole
Pozostało więc wyznaczyć największą możliwą wartość funkcji dla
(prawy koniec przedziału jest konsekwencją nierówności
). Liczymy pochodną (ze wzoru na pochodną iloczynu)
Rozkładamy teraz trójmian w liczniku.
Mamy zatem
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla
. W takim razie funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla
. Pole trapezu jest wtedy równe
Sposób II
Tak jak w poprzednim sposobie dochodzimy do zależności
Ponieważ możemy ten wzór zapisać w postaci
Funkcja jest rosnąca, więc wystarczy ustalić dla jakiej wartości
największą wartość przyjmuje funkcja
Liczymy pochodną
Rozkładamy teraz trójmian w ostatnim nawiasie.
Mamy zatem
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia dla i ujemna dla
. W takim razie funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. Największą wartość tej funkcji otrzymamy więc dla
. Pole trapezu jest wtedy równe
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie sprowadzamy rozwiązanie zadania do wyznaczenia największej wartości funkcji
w przedziale . Tym razem pochodną obliczymy jednak nie korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu.
Aby rozłożyć otrzymany wielomian szukamy jego pierwiastków wymiernych. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego, łatwo znaleźć pierwiastek . Dzielimy więc ten wielomian przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
Mamy zatem
Dalszą część rozwiązania prowadzimy tak jak w poprzednim sposobie.
Sposób IV
Rozwiązanie zadania znacznie się uprości jeżeli oznaczymy .
Mamy wtedy
i pole trapezu jest równe
Badamy teraz funkcję
określoną dla (bo
). Liczymy pochodną
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie największą wartość pola otrzymamy dla
. Pole jest wtedy równe
Odpowiedź: Podstawa: 12, pole: