Zadanie nr 2301192

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 2 60 cm . Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krótszego boku ekranu smartfona. Wtedy dłuższy bok tego ekranu ma długość y = 60x . Musimy teraz znaleźć najmniejszą wartość funkcji

( ) f (x) = (x + 0,6)(y + 1) = (x+ 0,6)⋅ 60-+ 1 = 60+ x + 36-+ 0 ,6 x x

określonej dla √ --- x ∈ (0, 60) (bo ma być krótszym bokiem ekranu). Liczymy pochodną

2 f′(x) = 1 − 36-= x--−-36-= (x-−-6)(x-+-6)-. x 2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale (0 ,6 ) i dodatnia w przedziale √ --- (6 , 60) . To oznacza, że funkcja maleje w przedziale (0,6⟩ i rośnie w przedziale √ --- ⟨6, 60) . W takim razie najmniejsze pole otrzymamy dla x = 6 . Dłuższy bok ekranu ma wtedy długość